9 Решите уравнение |x² – 12| = x. Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите сумму всех его корней.

Решение:

Уравнение |x² – 12| = x имеет два случая:

Случай 1: x² – 12 = x

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 \pm 7}{2} \]

\[ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверка:

Для x = 4: |4² – 12| = |16 – 12| = |4| = 4. Верно, так как x = 4 > 0.

Для x = -3: |-3² – 12| = |9 – 12| = |-3| = 3. Неверно, так как x = -3 < 0 (правая часть уравнения равна x, которая должна быть неотрицательной).

Случай 2: x² – 12 = -x

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \]

\[ x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

\[ x_3 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_4 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Проверка:

Для x = 3: |3² – 12| = |9 – 12| = |-3| = 3. Верно, так как x = 3 > 0.

Для x = -4: |-4² – 12| = |16 – 12| = |4| = 4. Неверно, так как x = -4 < 0.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 4 и 3.

Сумма корней:

\[ 4 + 3 = 7 \]

Ответ: 7