8 Найдите значение выражения x·5⁴ˣ⁻¹ · 25⁻²ˣ при х = 0,1. Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо подставить значение \( x \) в выражение и упростить его, используя свойства степеней. Удобно представить числа 5 и 25 как степени числа 5.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Подставим \( x = 0,1 = \frac{1}{10} \) в выражение:
   \( \frac{1}{10} \cdot 5^{4(\frac{1}{10})-1} \cdot 25^{2(\frac{1}{10})} \)
2. Шаг 2: Упростим степени:
   \( 4(\frac{1}{10}) - 1 = \frac{4}{10} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2-5}{5} = -\frac{3}{5} \).
   \( 2(\frac{1}{10}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
3. Шаг 3: Перепишем выражение с упрощенными степенями:
   \( \frac{1}{10} \cdot 5^{-\frac{3}{5}} \cdot 25^{-\frac{1}{5}} \)
4. Шаг 4: Представим 25 как \( 5^2 \) и \( \frac{1}{10} \) как \( 10^{-1} \):
   \( 10^{-1} \cdot 5^{-\frac{3}{5}} \cdot (5^2)^{-\frac{1}{5}} \)
5. Шаг 5: Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m · n} \):
   \( 10^{-1} \cdot 5^{-\frac{3}{5}} \cdot 5^{-\frac{2}{5}} \)
6. Шаг 6: Применим свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
   \( 10^{-1} \cdot 5^{-\frac{3}{5} - \frac{2}{5}} = 10^{-1} \cdot 5^{-\frac{5}{5}} = 10^{-1} \cdot 5^{-1} \)
7. Шаг 7: Применим свойство степеней \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   \( \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{50} \)
8. Шаг 8: Преобразуем дробь в десятичную:
   \( \frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{2}{100} = 0,02 \)

Ответ: 0,02