8. Определите число решений системы уравнений x² + y² = 16, y = -x² + 4. Ответ обоснуйте.

Первое уравнение x² + y² = 16 представляет собой окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 4. Второе уравнение y = -x² + 4 представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0,4). Для нахождения числа решений системы уравнений, нужно найти количество точек пересечения графика окружности и параболы. Подставим выражение для y из второго уравнения в первое: x² + (-x² + 4)² = 16 x² + x⁴ - 8x² + 16 = 16 x⁴ - 7x² = 0 x²(x² - 7) = 0 Отсюда получаем три случая: 1) x² = 0, тогда x = 0. Если x=0, то y = -0² + 4 = 4. Точка (0, 4). 2) x² - 7 = 0, тогда x² = 7, следовательно x = ±√7. Если x = √7, то y = -(√7)² + 4 = -7 + 4 = -3. Точка (√7, -3). Если x = -√7, то y = -(-√7)² + 4 = -7 + 4 = -3. Точка (-√7, -3). Таким образом, система имеет три решения: (0, 4), (√7, -3), (-√7, -3). Ответ: 3 решения.