8 Определите, пересекает ли график функции f(x) = x³ - 2x² + 5x - 10 ось х, и если пересекает, то в каких точках.

Решение:

Чтобы определить, пересекает ли график функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 10 \) ось \( Ox \), нужно найти корни уравнения \( f(x) = 0 \).

\[ x^3 - 2x^2 + 5x - 10 = 0 \]

1. Попробуем сгруппировать слагаемые:

\[ (x^3 - 2x^2) + (5x - 10) = 0 \]

2. Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^2(x - 2) + 5(x - 2) = 0 \]

3. Вынесем общий множитель \( (x - 2) \):

\[ (x - 2)(x^2 + 5) = 0 \]

4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель: \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \).

Второй множитель: \( x^2 + 5 = 0 \).

Уравнение \( x^2 = -5 \) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

5. Следовательно, график функции пересекает ось \( Ox \) только в одной точке.

Ответ: График функции пересекает ось \( Ox \) в точке \( x = 2 \).