8. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см²

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).

По условию:

1. Периметр: \( 2(a + b) = 30 \text{ см} \)
2. Площадь: \( a \cdot b = 56 \text{ см}^2 \)

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

\[ a + b = \frac{30}{2} = 15 \text{ см} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 15 \\ a \cdot b = 56 \end{cases} \]

Это означает, что \( a \) и \( b \) являются корнями квадратного уравнения \( t^2 - (a+b)t + ab = 0 \):

\[ t^2 - 15t + 56 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \]

Найдём корни:

\[ t_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8 \]

\[ t_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = 7 \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Ответ: 7 см и 8 см