8. Период полураспада радиоактивного изотопа кальция \(\underset{20}{\mathbf{45}}\mathbf{Ca}\) составляет 164 суток. Первоначально было \(\mathbf{6} \cdot \mathbf{10}^{\mathbf{20}}\mathbf}\) атомов кальция, то сколько их будет через 492 суток?

Период полураспада (T) — это время, за которое распадается половина исходного количества радиоактивных атомов.

У нас дано:

• Период полураспада \(T = 164\) суток.
• Начальное количество атомов \(N_0 = 6 \cdot 10^{20}\).
• Время, прошедшее с начала наблюдения, \(t = 492\) суток.

Сначала найдем, сколько периодов полураспада прошло за 492 суток:

Количество периодов \(n = \frac{t}{T} = \frac{492\ \text{суток}}{164\ \text{суток}} = 3\)

Формула для расчета оставшегося количества радиоактивных атомов после n периодов полураспада:

\[ N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Подставляем значения:

\[ N = 6 \cdot 10^{20} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 6 \cdot 10^{20} \cdot \frac{1}{8} = \frac{6}{8} \cdot 10^{20} = 0.75 \cdot 10^{20} = 7.5 \cdot 10^{19} \]

Ответ: 7,5 \(\cdot 10^{19}\) атомов.