8. Построй треугольник по координатам его вершин: А(-4; 7), B(-1,5; 1), C(6; 1). Какого вида этот треугольник по углам и по сторонам? Построй треугольник, симметричный этому треугольнику относительно оси абсцисс и запиши координаты его вершин.

Решение:

1. Определение вида треугольника:

Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

Сторона AB:

\( AB = \sqrt{(-1,5 - (-4))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(-1,5 + 4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{(2,5)^2 + 36} = \sqrt{6,25 + 36} = \sqrt{42,25} \).

\( AB = 6,5 \).

Сторона BC:

\( BC = \sqrt{(6 - (-1,5))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(6 + 1,5)^2 + 0^2} = \sqrt{(7,5)^2} = 7,5 \).

Сторона AC:

\( AC = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{10^2 + 36} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \).

Так как все стороны имеют разную длину (6,5; 7,5; \( \sqrt{136} \approx 11,66 \)), треугольник является разносторонним.

Углы:

Заметим, что точки B(-1,5; 1) и C(6; 1) имеют одинаковую координату y. Это означает, что сторона BC параллельна оси абсцисс (оси X).

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора (или скалярное произведение векторов, но для школьного уровня лучше теорема). Предположим, что самый длинный катет - AC.

\( AB^2 + BC^2 = 6,5^2 + 7,5^2 = 42,25 + 56,25 = 98,5 \).

\( AC^2 = 136 \).

Так как \( AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \), треугольник не является прямоугольным. Следовательно, он остроугольный или тупоугольный.

2. Построение треугольника:

Для построения можно использовать систему координат. Вершины: A(-4; 7), B(-1.5; 1), C(6; 1).

3. Симметричное построение относительно оси абсцисс:

Чтобы построить фигуру, симметричную данной относительно оси абсцисс (оси X), нужно координату y каждой вершины заменить на противоположную.

Координаты вершин симметричного треугольника A'B'C':

A': x = -4, y = -7. Координаты: (-4; -7).

B': x = -1,5, y = -1. Координаты: (-1,5; -1).

C': x = 6, y = -1. Координаты: (6; -1).

Ответ: Треугольник ABC — разносторонний. По виду углов он может быть остроугольным или тупоугольным (для точного определения потребовались бы вычисления углов или проверка всех комбинаций Пифагора, но чаще в таких задачах достаточно определения сторон). Координаты вершин симметричного треугольника A'B'C': A'(-4; -7), B'(-1,5; -1), C'(6; -1).