8. .При каких значениях параметра а уравнение х³-(a-5)х²-5ax = 0 имеет ровно два различных корня.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Вынесем общий множитель x:
2. x(x² - (a-5)x - 5a) = 0
3. Одно из решений всегда x₁ = 0.
4. Рассмотрим квадратное уравнение:
5. x² - (a-5)x - 5a = 0
6. Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, квадратное уравнение должно иметь либо один корень, который не равен 0, либо два корня, один из которых равен 0, а другой не равен 0.
7. Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (кратный), отличный от нуля.
8. Для этого дискриминант должен быть равен нулю:
9. D = (-(a-5))² - 4(1)(-5a) = 0
10. (a-5)² + 20a = 0
11. a² - 10a + 25 + 20a = 0
12. a² + 10a + 25 = 0
13. (a+5)² = 0
14. a = -5
15. При a = -5, квадратное уравнение принимает вид: x² - (-5-5)x - 5(-5) = 0 => x² + 10x + 25 = 0 => (x+5)² = 0. Корень x = -5.
16. Таким образом, при a = -5, исходное уравнение имеет корни x₁=0 и x₂=-5. Два различных корня.
17. Случай 2: Квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 0.
18. Если x = 0 является корнем квадратного уравнения, то при подстановке x=0 должно получиться верное равенство:
19. 0² - (a-5)*0 - 5a = 0 => -5a = 0 => a = 0.
20. При a = 0, квадратное уравнение принимает вид: x² - (0-5)x - 5(0) = 0 => x² + 5x = 0 => x(x+5) = 0.
21. Корни квадратного уравнения: x = 0 и x = -5.
22. Таким образом, при a = 0, исходное уравнение имеет корни x₁=0 (из первого множителя), x₂=0 (кратный корень из квадратного уравнения) и x₃=-5. Всего два различных корня: 0 и -5.
23. Случай 3: Квадратное уравнение имеет два различных корня, и один из них равен 0. (Этот случай уже рассмотрен в Случае 2, когда a=0)
24. Случай 4: Квадратное уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 0, а другой не равен 0. (Этот случай также рассмотрен в Случае 2, когда a=0)
25. Проверим, есть ли случаи, когда квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 0, а другой не равен 0 (этот случай уже покрыт случаем 2, но для полноты проверки).
26. Если 0 является корнем, то -5a = 0, значит a = 0.
27. Тогда уравнение: x² - (0-5)x - 5*0 = 0 => x² + 5x = 0 => x(x+5) = 0.
28. Корни: x=0 и x=-5.
29. Исходное уравнение: x(x²+5x) = 0 => x²(x+5) = 0.
30. Корни: x=0 (кратный) и x=-5. Два различных корня.

Ответ: a = -5, a = 0