8. Прямая а пересекает плоскость β в точке С, и образует с плоскостью угол 45°, А∈а, точка В основание перпендикуляра опущенного на плоскость из точки А. СВ=10, найдите АС.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В данном случае, угол между прямой \( a \) (которая содержит точку \( A \) и линию \( a \) ) и плоскостью \( \beta \) равен 45°. Точка \( C \) — точка пересечения прямой \( a \) и плоскости \( \beta \). Точка \( B \) — основание перпендикуляра, опущенного из \( A \) на плоскость \( \beta \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом в \( B \).

Угол между прямой \( a \) и плоскостью \( \beta \) — это угол \( \triangle AC B \), который равен 45°.

Нам дано: \( CB = 10 \) (это длина проекции отрезка \( AC \) на плоскость \( \beta \) ).

Нам нужно найти \( AC \) (это длина отрезка прямой \( a \) ).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACB \) мы знаем катет \( CB \) и угол \( \triangle ACB = 45° \).

Мы можем использовать косинус угла:

\( \cos(\angle ACB) = \frac{CB}{AC} \)

\( \cos(45°) = \frac{10}{AC} \)

Знаем, что \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10}{AC} \)

Теперь выразим \( AC \):

\( AC = \frac{10 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( AC = \frac{20 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2} \)

Ответ: 10√2