8. Решите неравенство $$x^2 \geq 289$$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8. Решите неравенство $x^2 \geq 289$.$ Фото задания

Accepted Answer

Данное неравенство можно переписать в виде:

$x^2 - 289 \geq 0$

Разложим левую часть как разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=17$ (так как $17^2 = 289$).

$(x - 17)(x + 17) \geq 0$

Теперь найдём корни уравнения $(x - 17)(x + 17) = 0$:

$x - 17 = 0 ⇒ x = 17$

$x + 17 = 0 ⇒ x = -17$

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -17]$, $[-17; 17]$, $[17; +\infty)$.

Проверим знак выражения $(x - 17)(x + 17)$ в каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; -17]$, возьмём, например, $x = -18$:
$(-18 - 17)(-18 + 17) = (-35)(-1) = 35$. $35 \geq 0$, значит, этот интервал подходит.
Для интервала $[-17; 17]$, возьмём, например, $x = 0$:
$(0 - 17)(0 + 17) = (-17)(17) = -289$. $-289 < 0$, значит, этот интервал не подходит.
Для интервала $[17; +\infty)$, возьмём, например, $x = 18$:
$(18 - 17)(18 + 17) = (1)(35) = 35$. $35 \geq 0$, значит, этот интервал подходит.

Таким образом, неравенство $x^2 \geq 289$ выполняется при $x \leq -17$ или $x \geq 17$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -17] \cup [17; +\infty)$.

Ответ: 2