8. Решите уравнение: а) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = 840; б) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 945. Указание: а) замените произведение крайних множителей и произведение средних множителей трёхчленами.

1. а) Сгруппируем множители: \((x-1)(x-4)=x^2-5x+4\), \((x-2)(x-3)=x^2-5x+6\). Пусть \(u=x^2-5x+5\). Тогда \((u-1)(u+1)=840\), откуда \(u^2=841\), то есть \(u=29\) или \(u=-29\). Уравнение \(x^2-5x+5=29\) даёт \(x=8,-3\); уравнение \(x^2-5x+5=-29\) действительных корней не имеет.
2. б) \((x+1)(x+7)=x^2+8x+7\), \((x+3)(x+5)=x^2+8x+15\). Пусть \(u=x^2+8x+11\). Тогда \((u-4)(u+4)=945\), поэтому \(u^2=961\), то есть \(u=31\) или \(u=-31\). При \(u=31\): \(x^2+8x-20=0\), откуда \(x=-4\pm2\sqrt{11}\). При \(u=-31\) получаем \(x^2+8x+42=0\), действительных корней нет.

Ответ: а) \(x=8,-3\); б) \(x=-4\pm2\sqrt{11}\).