8. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50- процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

1. Пусть \( x \) кг — масса 30-процентного раствора, а \( y \) кг — масса 60-процентного раствора.
2. Первый случай:
   Масса кислоты в 30%-ном растворе: \( 0.30 x \).
   Масса кислоты в 60%-ном растворе: \( 0.60 y \).
   Общая масса кислоты: \( 0.30 x + 0.60 y \).
   Общая масса раствора после добавления воды: \( x + y + 10 \) кг.
   Концентрация полученного раствора: 36%.
   Уравнение: \( \frac{0.30 x + 0.60 y}{x + y + 10} = 0.36 \)
   \( 0.30 x + 0.60 y = 0.36 (x + y + 10) \)
   \( 0.30 x + 0.60 y = 0.36 x + 0.36 y + 3.6 \)
   \( 0.60 y - 0.36 y = 0.36 x - 0.30 x + 3.6 \)
   \( 0.24 y = 0.06 x + 3.6 \)
   Умножим на 100: \( 24 y = 6 x + 360 \)
   Разделим на 6: \( 4 y = x + 60 \) (1)
3. Второй случай:
   Масса кислоты в 30%-ном растворе: \( 0.30 x \).
   Масса кислоты в 60%-ном растворе: \( 0.60 y \).
   Масса кислоты в 50%-ном растворе: \( 10 \times 0.50 = 5 \) кг.
   Общая масса кислоты: \( 0.30 x + 0.60 y + 5 \).
   Общая масса раствора после добавления 50%-ного раствора: \( x + y + 10 \) кг.
   Концентрация полученного раствора: 41%.
   Уравнение: \( \frac{0.30 x + 0.60 y + 5}{x + y + 10} = 0.41 \)
   \( 0.30 x + 0.60 y + 5 = 0.41 (x + y + 10) \)
   \( 0.30 x + 0.60 y + 5 = 0.41 x + 0.41 y + 4.1 \)
   \( 0.60 y - 0.41 y + 5 - 4.1 = 0.41 x - 0.30 x \)
   \( 0.19 y + 0.9 = 0.11 x \)
   Умножим на 100: \( 19 y + 90 = 11 x \) (2)
4. Теперь у нас есть система уравнений:
   \( x = 4y - 60 \) (из (1))
   \( 11 x = 19 y + 90 \) (из (2))
5. Подставим \( x \) из (1) во второе уравнение:
6. \( 11 (4y - 60) = 19 y + 90 \)
   \( 44 y - 660 = 19 y + 90 \)
   \( 44 y - 19 y = 90 + 660 \)
   \( 25 y = 750 \)
   \( y = \frac{750}{25} = 30 \) кг.
7. Теперь найдём \( x \) используя уравнение (1):
8. \( x = 4y - 60 = 4 \times 30 - 60 = 120 - 60 = 60 \) кг.

Ответ: 60 кг.