8 Тип 7 № 12290 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите гра- дусную меру угла АВС.

Краткое пояснение:

Для определения градусной меры угла ABC, мы можем использовать координаты точек и теорему косинусов, или же рассмотреть построение прямоугольного треугольника, используя стороны клетки.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим координаты точек, предполагая, что точка C находится в начале координат (0,0).
• C = (0, 0)
• B = (0, 2) (так как B находится на 2 клетки выше C)
• A = (3, 1) (так как A находится на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх от C)
2. Шаг 2: Найдем длины сторон треугольника ABC.
• BC = \( √{(0-0)^2 + (2-0)^2} \) = \( √{0 + 4} \) = 2
• AB = \( √{(3-0)^2 + (1-2)^2} \) = \( √{9 + (-1)^2} \) = \( √{9 + 1} \) = \( √{10} \)
• AC = \( √{(3-0)^2 + (1-0)^2} \) = \( √{9 + 1} \) = \( √{10} \)
3. Шаг 3: Поскольку AC = AB, треугольник ABC является равнобедренным. Угол ABC является углом при основании.
4. Шаг 4: Применим теорему косинусов к углу ABC (\( β \)).

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\beta) \]

\[ (\sqrt{10})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2 \cdot \cos(\beta) \]

\[ 10 = 10 + 4 - 4\sqrt{10} \cos(\beta) \]

\[ 0 = 4 - 4\sqrt{10} \cos(\beta) \]

\[ 4\sqrt{10} \cos(\beta) = 4 \]

\[ \cos(\beta) = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]

5. Шаг 5: Найдем угол \( β \) с помощью арккосинуса.

\[ \beta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) \approx 71.565^{\circ} \]

6. Альтернативный метод (проще): Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вертикальный катет равен 1 (разница по y), горизонтальный катет равен 3 (разница по x). Угол при C равен \( t\alpha \) = arctan(2/0) - не работает.
7. Рассмотрим угол при вершине B.
8. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник. Опустим перпендикуляр из точки A на прямую, проходящую через B и C. Точка пересечения будет (0,1).
9. Тогда у нас есть треугольник с вершинами A(3,1), B(0,2) и точка D(0,1).
10. BD = 1
11. AD = 3
12. Угол ABD = arctan(AD/BD) = arctan(3/1) = arctan(3) ≈ 71.565°

Ответ: Приблизительно 71.57°