8. Упростите выражение \(\frac{8}{15} \cdot (2\frac{1}{4}a - 7\frac{1}{2}b) - \frac{7}{30} \cdot (4\frac{2}{7}a - 8\frac{4}{7}b)\)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \)
• \( 7\frac{1}{2} = \frac{15}{2} \)
• \( 4\frac{2}{7} = \frac{30}{7} \)
• \( 8\frac{4}{7} = \frac{60}{7} \)
2. Раскроем первые скобки:
• \( \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{4}a = \frac{8 \cdot 9}{15 \cdot 4}a = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1}a = \frac{6}{5}a \)
• \( \frac{8}{15} \cdot (-\frac{15}{2}b) = -\frac{8 \cdot 15}{15 \cdot 2}b = -4b \)
3. Раскроем вторые скобки:
• \( -\frac{7}{30} \cdot \frac{30}{7}a = -\frac{7 \cdot 30}{30 \cdot 7}a = -a \)
• \( -\frac{7}{30} \cdot (-\frac{60}{7}b) = \frac{7 \cdot 60}{30 \cdot 7}b = 2b \)
4. Сгруппируем члены с \(a\) и \(b\):
• \( \frac{6}{5}a - a - 4b + 2b \)
5. Упростим:
• \( (\frac{6}{5} - 1)a + (-4 + 2)b \)
• \( (\frac{6}{5} - \frac{5}{5})a - 2b \)
• \( \frac{1}{5}a - 2b \)

Ответ: \( \frac{1}{5}a - 2b \).