8. Упростите выражение \(\frac{8}{15} \cdot (3\frac{3}{4}m - \frac{5}{16}n) - \frac{3}{20} \cdot (6\frac{2}{3}m - \frac{4}{9}n)\)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4} \)
• \( 6\frac{2}{3} = \frac{20}{3} \)
2. Раскроем первые скобки:
• \( \frac{8}{15} \cdot \frac{15}{4}m = \frac{8 \cdot 15}{15 \cdot 4}m = 2m \)
• \( \frac{8}{15} \cdot (-\frac{5}{16}n) = -\frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 16}n = -\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}n = -\frac{1}{6}n \)
3. Раскроем вторые скобки:
• \( -\frac{3}{20} \cdot \frac{20}{3}m = -\frac{3 \cdot 20}{20 \cdot 3}m = -m \)
• \( -\frac{3}{20} \cdot (-\frac{4}{9}n) = \frac{3 \cdot 4}{20 \cdot 9}n = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 3}n = \frac{1}{15}n \)
4. Сгруппируем члены с \(m\) и \(n\):
• \( 2m - m - \frac{1}{6}n + \frac{1}{15}n \)
5. Упростим:
• \( m + (-\frac{1}{6} + \frac{1}{15})n \)
• Найдем общий знаменатель для дробей \( -\frac{1}{6} \) и \( \frac{1}{15} \). Общий знаменатель - 30:
• \( -\frac{1}{6} = -\frac{5}{30} \)
• \( \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \)
• \( -\frac{5}{30} + \frac{2}{30} = -\frac{3}{30} = -\frac{1}{10} \)
• \( m - \frac{1}{10}n \)

Ответ: \( m - \frac{1}{10}n \).