8. Упростите выражение \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}\( \).

Решение:

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю.

1. Сопряжённое выражение к \( \sqrt{6} + \sqrt{5} \) — это \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \).
2. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} - \sqrt{5} \):
   \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
3. Раскроем квадрат в числителе по формуле \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
   \( (\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 - 2\sqrt{30} + 5 = 11 - 2\sqrt{30} \)
4. Вычислим знаменатель по формуле \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \):
   \( (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 \)
5. Запишем упрощённое выражение:
   \( \frac{11 - 2\sqrt{30}}{1} = 11 - 2\sqrt{30} \)

Ответ: 11 - 2\(\sqrt{30}\).