8. В квадрате сумма расстояний от его центра до сторон равна 20 см. Найдите периметр ромба, вершины которого являются серединами сторон квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Расстояние от центра до каждой стороны равно \(a/2\), поэтому \(4\cdot a/2=20\), откуда \(a=10\) см.

Отрезок между серединами двух соседних сторон квадрата образует катеты прямоугольного треугольника длиной \(a/2\). Сторона ромба равна \(\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=a/\sqrt2=5\sqrt2\) см.

Периметр ромба: \(4\cdot5\sqrt2=20\sqrt2\) см.

Ответ: \(20\sqrt2\) см.