8. В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

В треугольнике BCD углы при C и D равны 90° и 45°, поэтому ∠CBD = 45°. Следовательно, треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC = CD.

Поскольку BC ∥ AD, соседние углы при стороне AB supplementary: ∠DAB = 180° − 135° = 45°. Угол между AD и BD равен углу между BC и BD, то есть 45°. Тогда треугольник ABD — равнобедренный прямоугольный, а AD — его гипотенуза.

Из AD = 30 следует BD = 30/√2 = 15√2. В треугольнике BCD гипотенуза BD, поэтому BC = BD/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.