9. В трапеции ABCD основания BC = 5 и AD = 15. Точка E лежит на продолжении AD за точку A; E, O, C лежат на одной прямой, O — середина AB. ∠BAD = 60°, ∠BCE = 30°, CE ⟂ CD. Найти периметр трапеции.

Положим A = (0; 0), а AD направим по горизонтали. Обозначим B = (x; h). Из ∠BAD = 60° получаем x = h/√3. Так как BC ∥ AD и BC = 5, координаты C равны (x + 5; h).

Условие ∠BCE = 30° означает, что горизонтальное смещение от C до E по модулю равно √3h. Поскольку CE ⟂ CD, а D = (15; 0), скалярное произведение векторов CD и CE равно нулю. Это даёт h = √3(10 − x). Вместе с x = h/√3 получаем x = 5 и h = 5√3.

Тогда AB = √(5² + (5√3)²) = 10, а CD = √((15 − 10)² + (5√3)²) = 10. Периметр трапеции: 5 + 15 + 10 + 10 = 40.

Ответ: 40.