8. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Так как AP = A₁P₁ и AB = A₁B₁, вычитанием получаем BP = B₁P₁.

Рассмотрим △APC и △A₁P₁C₁. Имеем AP = A₁P₁, AC = A₁C₁, а ∠PAC = ∠P₁A₁C₁, поскольку P и P₁ лежат на сторонах AB и A₁B₁. Поэтому △APC = △A₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда PC = P₁C₁.

Аналогично, из AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ следует, что △ABC = △A₁B₁C₁, значит BC = B₁C₁.

Таким образом, в △BPC и △B₁P₁C₁ соответственно равны три стороны: BP = B₁P₁, PC = P₁C₁ и BC = B₁C₁. Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам.