9. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Из AC = AD и AB = AE следует, что BC = AC − AB = AD − AE = DE.

В треугольниках ABD и AEC: AB = AE, AD = AC, а углы BAD и EAC равны, поскольку оба совпадают с углом CAD. Значит, △ABD = △AEC по двум сторонам и углу между ними, поэтому BD = EC.

Теперь рассмотрим △BCD и △EDC. Имеем BC = DE, BD = EC, а CD — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. При соответствии вершин B ↔ E, C ↔ D, D ↔ C получаем ∠CBD = ∠DEC.