8. В треугольнике АВС биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М. Найти угол АСМ, если известно, что ∠AMB = 136°. сделайте чертеж Решение:

Решение:

В треугольнике АВС биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М. Известно, что \( \angle AMB = 136^{\circ} \).

Точка М является центром вписанной окружности (или точкой пересечения биссектрис).

В треугольнике АМВ:

\( \angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^{\circ} \)

\( \angle MAB + \angle MBA + 136^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle MAB + \angle MBA = 180^{\circ} - 136^{\circ} \)

\( \angle MAB + \angle MBA = 44^{\circ} \)

Так как АА₁ и ВВ₁ — биссектрисы, то:

\( \angle CAB = 2 \cdot \angle MAB \)

\( \angle CBA = 2 \cdot \angle MBA \)

Сумма углов треугольника АВС:

\( \angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle MAB + 2 \cdot \angle MBA + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( 2 (\angle MAB + \angle MBA) + \angle ACB = 180^{\circ} \)

Подставим \( \angle MAB + \angle MBA = 44^{\circ} \):

\( 2 \cdot 44^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( 88^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ACB = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \)

Угол АСМ является частью угла АСВ. Так как СМ — биссектриса угла С, то \( \angle ACM = \frac{1}{2} \angle ACB \).

\( \angle ACM = \frac{1}{2} \cdot 92^{\circ} = 46^{\circ} \)

Ответ: 46°.