8. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне.

Если \( DE \) — средняя линия, то \( DE \parallel AB \) и \( DE = \frac{1}{2} AB \).

Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \) (так как \( CD = \frac{1}{2} CA \), \( CE = \frac{1}{2} CB \), \( DE = \frac{1}{2} AB \)).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \).

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).

Следовательно, \( S_{CAB} = 4 \cdot S_{CDE} \).

По условию \( S_{CDE} = 97 \).

\( S_{CAB} = 4 \cdot 97 = 388 \).

Ответ: 388