6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 8 \) и \( b = 18 \). Периметр \( P = 56 \).

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны \( c \).

Периметр трапеции \( P = a + b + 2c \).

\( 56 = 8 + 18 + 2c \)

\( 56 = 26 + 2c \)

\( 2c = 56 - 26 = 30 \)

\( c = 15 \).

Боковая сторона трапеции равна 15.

Чтобы найти площадь, нам нужна высота. Проведем высоту \( h \) из вершины меньшего основания к большему.

Основание \( b \) разделится на три отрезка: \( x \), \( a \) и \( x \), где \( 2x + a = b \).

\( 2x + 8 = 18 \)

\( 2x = 10 \)

\( x = 5 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \( c \), высотой \( h \) и отрезком \( x \). По теореме Пифагора:

\( c^2 = h^2 + x^2 \)

\( 15^2 = h^2 + 5^2 \)

\( 225 = h^2 + 25 \)

\( h^2 = 225 - 25 = 200 \)

\( h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

\( S = \frac{8+18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2} \).

Ответ: 130\(\sqrt{2}\)