8. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 71° и BM = AM = MC.

Дано:

• Треугольник АВС
• ВМ — медиана
• ∠C = 71°
• BM = AM = MC

Найти: ∠A

Решение:

Так как ВМ — медиана, то она делит сторону АС пополам: AM = MC. По условию, BM = AM = MC. Это означает, что медиана ВМ равна половине стороны АС.

В треугольнике, медиана, проведенная к одной из сторон, равна половине этой стороны, только если этот треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой. Следовательно, ∠ABC = 90°.

Рассмотрим треугольник ВМС. Так как BM = MC, то этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны:

∠MBC = ∠C = 71°

Теперь найдем ∠B в этом треугольнике:

∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠C) = 180° - (71° + 71°) = 180° - 142° = 38°

Рассмотрим треугольник АВМ. Так как BM = AM, то этот треугольник равнобедренный. Угол ∠BMC является внешним углом для треугольника АВМ. Внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

∠BMC = ∠A + ∠ABM

38° = ∠A + ∠ABM

Также, ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 90°.

∠ABM + 71° = 90°

∠ABM = 90° - 71° = 19°

Теперь подставим значение ∠ABM в уравнение для внешнего угла:

38° = ∠A + 19°

∠A = 38° - 19°

∠A = 19°

Ответ: 19