8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: АВ=60, BC=28, CD=96, AD=80 и BD=100. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение:

Чтобы доказать, что около четырёхугольника можно описать окружность, нужно показать, что сумма противоположных углов равна 180°.

Рассмотрим треугольники ABD и BCD.

1. Треугольник ABD:

Стороны: \( AB = 60 \), \( AD = 80 \), \( BD = 100 \).

Проверим, является ли он прямоугольным, по теореме, обратной теореме Пифагора:

\[ AB^2 + AD^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \]

\[ BD^2 = 100^2 = 10000 \]

Так как \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \), то треугольник ABD — прямоугольный с прямым углом \( \angle BAD = 90^{\circ} \).

2. Треугольник BCD:

Стороны: \( BC = 28 \), \( CD = 96 \), \( BD = 100 \).

Проверим, является ли он прямоугольным, по теореме, обратной теореме Пифагора:

\[ BC^2 + CD^2 = 28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10000 \]

\[ BD^2 = 100^2 = 10000 \]

Так как \( BC^2 + CD^2 = BD^2 \), то треугольник BCD — прямоугольный с прямым углом \( \angle BCD = 90^{\circ} \).

3. Четырёхугольник ABCD:

Сумма противоположных углов четырёхугольника:

\[ \angle BAD + \angle BCD = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]

Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность.

Доказано.