8*. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(8; −3), B(5; 1), C(12; [числовые данные обрезаны]). Докажите, что угол B равен углу C. Найдите площадь треугольника.

Координата точки C обрезана, поэтому доказать равенство углов и однозначно найти площадь по имеющимся данным нельзя.

Можно определить, какие значения координаты C_y согласуются с требуемым равенством углов. Сначала \(AB=\sqrt{(5-8)^2+(1-(-3))^2}=5\). Если \(\angle B=\angle C\), то противоположные этим углам стороны равны: \(AC=AB=5\). Для C\((12;y)\) получаем \((12-8)^2+(y+3)^2=25\), откуда \(y=0\) или \(y=-6\).

Эти варианты дают разные площади. При C\((12;0)\): \(S=\frac12|(-3)\cdot3-4\cdot4|=\frac{25}{2}\). При C\((12;-6)\): \(S=\frac12|(-3)\cdot(-3)-4\cdot4|=\frac72\). В обоих случаях равенство углов выполняется, но выбрать нужный вариант без обрезанной координаты нельзя.

Ответ: пришлите координату C целиком; без неё доказательство для заданной точки и единственное значение площади определить невозможно.