8. Вычислите определенный интеграл: ∫₂¹ (15x² + 4x - 7) dx

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = 15x^2 + 4x - 7 \).
2. Первообразная \( F(x) = \int (15x^2 + 4x - 7) dx = 15 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} - 7x + C = 5x^3 + 2x^2 - 7x + C \).
3. Для вычисления определенного интеграла от \( a \) до \( b \) используется формула \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
4. В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 2 \). Выберем \( C = 0 \).
5. \( F(2) = 5(2)^3 + 2(2)^2 - 7(2) = 5(8) + 2(4) - 14 = 40 + 8 - 14 = 34 \).
6. \( F(1) = 5(1)^3 + 2(1)^2 - 7(1) = 5(1) + 2(1) - 7 = 5 + 2 - 7 = 0 \).
7. \( \int_1^2 (15x^2 + 4x - 7) dx = F(2) - F(1) = 34 - 0 = 34 \).

Ответ: 34