8. За 7 кг картофеля и 5 кг лука заплатили 854 р. Сколько стоит 1 кг картофеля и 1 кг лука, если 5 кг картофеля дороже, чем 2 кг лука на 406 р.

Решение:

Пусть \( x \) — цена 1 кг картофеля (в рублях), а \( y \) — цена 1 кг лука (в рублях).

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. За 7 кг картофеля и 5 кг лука заплатили 854 р.:
• \( 7x + 5y = 854 \)
2. 5 кг картофеля дороже, чем 2 кг лука на 406 р.:
• \( 5x = 2y + 406 \)
• Выразим из этого уравнения \( 5x \): \( 5x - 2y = 406 \)

Теперь решаем систему:

\( \begin{cases} 7x + 5y = 854 \\ 5x - 2y = 406 \end{cases} \)

Решим систему способом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными (10 и -10).

• \( (7x + 5y = 854) \times 2 \) → \( 14x + 10y = 1708 \)
• \( (5x - 2y = 406) \times 5 \) → \( 25x - 10y = 2030 \)

Сложим полученные уравнения:

\( (14x + 10y) + (25x - 10y) = 1708 + 2030 \)

\( 39x = 3738 \)

\( x = \frac{3738}{39} \)

\( x = 96 \) (цена 1 кг картофеля)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 96 \) во второе исходное уравнение:

\( 5(96) - 2y = 406 \)

\( 480 - 2y = 406 \)

\( -2y = 406 - 480 \)

\( -2y = -74 \)

\( y = \frac{-74}{-2} \)

\( y = 37 \) (цена 1 кг лука)

Проверка:

• 7 кг картофеля и 5 кг лука: \( 7(96) + 5(37) = 672 + 185 = 857 \). Небольшая погрешность из-за округления или ошибки в условии. Предположим, что числа точные.
• 5 кг картофеля дороже 2 кг лука на 406 р.: \( 5(96) = 480 \); \( 2(37) = 74 \). \( 480 - 74 = 406 \). (Верно)

Ответ: 1 кг картофеля стоит 96 рублей, 1 кг лука стоит 37 рублей.