82. Изобразите параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку M грани A₁B₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку M параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB₁C₁C; в) плоскости BD₁.

Уточнение: точка M должна быть внутренней точкой грани A₁B₁D₁, как указано в условии. Для каждого пункта сечение — параллелограмм; стороны параллельны соответствующим сторонам указанной плоскости, а через M проводят параллельные прямые до пересечения с рёбрами параллелепипеда.

а) Плоскость, параллельная основанию ABCD, пересекает все боковые рёбра на верхних вершинах; поскольку M лежит на грани A₁B₁D₁, положение сечения в общем случае требует, чтобы плоскость проходила через M. Её следы на гранях строят параллельно сторонам основания.

б) Проводим через M прямую, параллельную ребру BB₁, и прямую, параллельную ребру BC; продолжая их в гранях параллелепипеда, получаем параллелограмм с противоположными сторонами, параллельными BB₁ и BC.

в) Плоскость BD₁ задаёт направления диагонали BD₁ и диагонали основания BD. Через M проводят прямые параллельно этим направлениям и продолжают до границ параллелепипеда.

Для однозначного чертежа каждого сечения нужно точное положение M на грани и геометрическая форма параллелепипеда. В частности, при M внутри треугольной грани A₁B₁D₁ сечения в перечисленных плоскостях могут иметь разные точки пересечения с рёбрами. Этих данных на снимке недостаточно для корректного изображения точных вершин сечений.