83. Изобразите параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей: а) через ребро CC₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D; б) через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости A₁B₁C₁.

а) Обозначим O точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D. В плоскости грани AA₁D₁D проведём прямую OD до пересечения с AD в точке E; в параллелограмме O лежит на диагонали, поэтому для сечения через ребро CC₁ удобно построить его след на основании через точку D и след на грани CC₁B₁B через ребро CC₁. Для произвольного параллелепипеда получаем сечение четырёхугольником DCC₁D₁? Условие задаёт плоскость через CC₁ и O, и её следы зависят от положения O; точные точки пересечения с рёбрами следует строить по линейным пересечениям граней.

б) Пусть O₂ — точка пересечения диагоналей ABCD. Плоскость, параллельная A₁B₁C₁ и проходящая через O₂, параллельна основанию ABCD. Она пересекает все четыре боковых ребра на одинаковом относительном уровне, поэтому сечение — параллелограмм, стороны которого параллельны сторонам основания.

Условие пункта а) на снимке читается как «точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D». Для полного построения полезно прислать более чёткий фрагмент: в имеющемся изображении формулировка и возможные обозначения точек недостаточно ясны.