82. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$, точка $G$ — середина стороны $BC$. Выразите векторы $\overrightarrow{EC}$ и $\overrightarrow{AG}$ через векторы $\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 82. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$, точка $G$ — середина стороны $BC$. Выразите векторы…$ Фото задания

82. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$, точка $G$ — середина стороны $BC$. Выразите векторы $\overrightarrow{EC}$ и $\overrightarrow{AG}$ через векторы $\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.

Accepted Answer

В параллелограмме $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а $\overrightarrow{DC}=\vec{a}$. Возьмём точку $D$ за начало отсчёта. Тогда положение точек задаётся векторами: $D=\vec{0}$, $A=\vec{b}$, $C=\vec{a}$, $B=\vec{a}-\vec{b}$.

Поскольку $E$ — середина $AD$, имеем $E=\frac{1}{2}\vec{b}$. Поэтому $\overrightarrow{EC}=C-E=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$.

Точка $G$ — середина $BC$, значит $G=\frac{B+C}{2}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$. Следовательно, $\overrightarrow{AG}=G-A=\vec{a}-\frac{3}{2}\vec{b}$.

Ответ: $\overrightarrow{EC}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$, $\overrightarrow{AG}=\vec{a}-\frac{3}{2}\vec{b}$.