84. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а $M$ — такая точка на стороне $AD$, что $AM=\frac{1}{2}MD$. Выразите вектор $\overrightarrow{OM}$ через векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AD}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 84. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а $M$ — такая точка на стороне $AD$, что…$ Фото задания

84. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, а $M$ — такая точка на стороне $AD$, что $AM=\frac{1}{2}MD$. Выразите вектор $\overrightarrow{OM}$ через векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AD}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

Из условия $AM=\frac{1}{2}MD$ получаем отношение $AM:MD=1:2$, поэтому $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{a}$.

Диагонали параллелограмма делятся пополам, следовательно, $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$.

Тогда $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=-\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: $\overrightarrow{OM}=-\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$.