839. Докажите неравенство: а) $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0$; б) $2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5>0$; в) $x^2-4xy+5y^2+2y+2>0$; г) $5x^2+4xy+y^2+4x+6>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 839. Докажите неравенство: а) $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0$; б) $2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5>0$; в) $x^2-4xy+5y^2+2y+2>0$; г)…$ Фото задания

839. Докажите неравенство: а) $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0$; б) $2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5>0$; в) $x^2-4xy+5y^2+2y+2>0$; г) $5x^2+4xy+y^2+4x+6>0$.

Accepted Answer

а) Обозначим $t=x-2y$. Тогда $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3=t^2+2t+3=(t+1)^2+2>0$. То есть $(x-2y+1)^2+2>0$.

б) $2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5=x^2+(x-y)^2-4(x-y)+5=x^2+(x-y-2)^2+1>0$.

в) $x^2-4xy+5y^2+2y+2=(x-2y)^2+y^2+2y+2=(x-2y)^2+(y+1)^2+1>0$.

г) $5x^2+4xy+y^2+4x+6=(2x+y)^2+x^2+4x+6=(2x+y)^2+(x+2)^2+2>0$.

Ответ: все неравенства доказаны.

839. Докажите неравенство: а) \(x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0\); б) \(2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5>0\); в) \(x^2-4xy+5y^2+2y+2>0\); г) \(5x^2+4xy+y^2+4x+6>0\).

Ответ: