87. На рисунке 133 треугольник ABC — равнобедренный, где AB = BC. Докажите, что треугольник KBM также равнобедренный, если: а) AK = CM; б) AM = CK; в) ∠ABK = ∠CBM.

Докажем во всех случаях, что \(BK=BM\). Поскольку \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle BAK=\angle BCM\) (лучи AK и CM лежат на прямой AC).

1. а) По условию \(AK=CM\). В треугольниках ABK и CBM равны две стороны: \(AB=CB\), \(AK=CM\), и углы между ними: \(\angle BAK=\angle BCM\). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны \(BK=BM\).

2. б) По расположению точек A, K, M, C на основании \(AM=AK+KM\), а \(CK=CM+MK\). Из условия \(AM=CK\) вычитаем общий отрезок KM и получаем \(AK=CM\). Тогда применяем доказательство пункта а): \(BK=BM\).

3. в) По условию \(\angle ABK=\angle CBM\). Вместе с равенством \(AB=CB\) и равенством углов при основании \(\angle BAK=\angle BCM\) это даёт равенство треугольников ABK и CBM по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, \(BK=BM\).

Во всех трёх случаях в треугольнике KBM равны стороны BK и BM, значит он равнобедренный.