88. Через легкий блок, вращающийся без трения вокруг неподвижной оси, перекинута невесомая нерастяжимая нить, на концах которой привязаны грузы массами т₁ = 600 г и т₂ = 200 г. Первый груз поднимают на высоту h = 18 см, при которой второй груз касается пола (рис. 42), и отпускают без начальной скорости. Максимальная высота hmax, на которую поднимется груз м₂, после того как груз м₁ ударится о пол, равна ... см.

Решение:

Эта задача состоит из двух этапов: движение грузов до касания пола вторым грузом, и движение после того, как первый груз ударится о пол.

Этап 1: Движение грузов до касания пола вторым грузом.

Переведем массы в кг: \( m_1 = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг} \), \( m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг} \). Высота подъема первого груза \( h = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м} \).

Система состоит из двух грузов, связанных нитью. Груз \( m_1 \) поднимается, а груз \( m_2 \) опускается. Ускорение системы \( a \) одинаково по модулю для обоих грузов.

Применим второй закон Ньютона:

Для груза \( m_1 \) (движение вверх): \( T - m_1 g = m_1 a \) (1)

Для груза \( m_2 \) (движение вниз): \( m_2 g - T = m_2 a \) (2)

Сложим уравнения (1) и (2):

\[ (T - m_1 g) + (m_2 g - T) = m_1 a + m_2 a \]

\[ m_2 g - m_1 g = (m_1 + m_2) a \]

\[ a = \frac{g(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} \]

Подставим значения: \( g \approx 10 \text{ м/с}² \).

\[ a = \frac{10 (0.2 - 0.6)}{0.6 + 0.2} = \frac{10 \cdot (-0.4)}{0.8} = \frac{-4}{0.8} = -5 \text{ м/с}² \]

Знак минус указывает, что мы выбрали неверное направление движения. Правильно, \( m_1 \) будет опускаться, а \( m_2 \) подниматься, если бы \( m_1 \) не было поднято до этого. Однако, условие говорит, что \( m_1 \) поднимают на высоту 18 см. Это означает, что \( m_1 \) больше \( m_2 \), что противоречит числам. Поэтому, будем считать, что \( m_1 \) — это груз, который изначально поднимается.

Коррекция: Скорее всего, в условии опечатка, и \( m_1 = 600 \text{ г} \) и \( m_2 = 200 \text{ г} \) соответствуют \( m_{больший} \) и \( m_{меньший} \), т.е. \( m_1 \) — это тот, который поднимается, а \( m_2 \) — тот, который опускается. Но при \( m_1 > m_2 \) система будет двигаться так, что \( m_1 \) опускается, а \( m_2 \) поднимается. Давайте переобозначим, чтобы было логичнее: пусть \( m_A = 0.6 \text{ кг} \) и \( m_B = 0.2 \text{ кг} \). Если \( m_A \) поднимают, значит \( m_A > m_B \). Тогда \( m_1 \) в условии — это \( m_A \), а \( m_2 \) — \( m_B \).

Пусть \( m_{поднимается} = 0.2 \text{ кг} \) и \( m_{опускается} = 0.6 \text{ кг} \). Тогда ускорение будет положительным.

\[ a = \frac{g(m_{опускается} - m_{поднимается})}{m_{поднимается} + m_{опускается}} \]

\[ a = \frac{10 (0.6 - 0.2)}{0.2 + 0.6} = \frac{10 \cdot 0.4}{0.8} = \frac{4}{0.8} = 5 \text{ м/с}² \]

Теперь найдем скорость \( v \) первого груза (который поднимается) в момент, когда второй груз (который опускается) достигает пола. Мы знаем, что он поднялся на \( h = 0.18 \text{ м} \) с начальной скоростью 0 и ускорением \( a = 5 \text{ м/с}² \).

\[ v^2 = v_0^2 + 2ah \]

\[ v^2 = 0 + 2 \cdot 5 \cdot 0.18 = 10 \cdot 0.18 = 1.8 \text{ (м/с)}² \]

\[ v = \sqrt{1.8} \text{ м/с} \]

Этап 2: Движение после удара первого груза о пол.

Когда первый груз \( m_1 \) ударяется о пол, он перестает двигаться. Система теперь состоит из одного груза \( m_2 \) (который изначально опускался, а теперь поднимается) и нити. Груз \( m_2 \) продолжает движение вверх по инерции с начальной скоростью \( v = \sqrt{1.8} \text{ м/с} \) до тех пор, пока не достигнет максимальной высоты \( h_{max} \). Сила натяжения нити в этот момент становится равной нулю (так как \( m_1 \) больше не тянет).

На груз \( m_2 \) будет действовать только сила тяжести \( m_2 g \) (направленная вниз) и, возможно, сила сопротивления воздуха, но она не указана, поэтому пренебрегаем ею.

Применим закон сохранения энергии для груза \( m_2 \) на втором этапе:

Начальная энергия (в момент удара \( m_1 \) о пол): \( E_{k,нач} = \frac{m_2 v^2}{2} \) (кинетическая) + \( E_{p,нач} = 0 \) (потенциальная, принимаем уровень пола за 0).

Конечная энергия (в верхней точке подъема): \( E_{k,кон} = 0 \) (кинетическая) + \( E_{p,кон} = m_2 g h_{max} \) (потенциальная).

По закону сохранения энергии: \( E_{k,нач} + E_{p,нач} = E_{k,кон} + E_{p,кон} \)

\[ \frac{m_2 v^2}{2} + 0 = 0 + m_2 g h_{max} \]

\[ \frac{m_2 v^2}{2} = m_2 g h_{max} \]

Сокращаем \( m_2 \) (масса груза не влияет на высоту подъема после удара, если пренебречь сопротивлением воздуха).

\[ h_{max} = \frac{v^2}{2g} \]

Подставим \( v^2 = 1.8 \text{ (м/с)}² \) и \( g = 10 \text{ м/с}² \).

\[ h_{max} = \frac{1.8}{2 \cdot 10} = \frac{1.8}{20} = 0.09 \text{ м} \]

Переведем в сантиметры:

\[ h_{max} = 0.09 \text{ м} \cdot 100 \text{ см/м} = 9 \text{ см} \]

Важное уточнение по условию: Если \( m_1 = 600 \text{ г} \) и \( m_2 = 200 \text{ г} \) то \( m_1 \) будет опускаться, а \( m_2 \) подниматься. В условии сказано: «Первый груз поднимают на высоту h = 18 см...». Это означает, что \( m_1 \) — это груз, который поднимали, значит \( m_1 \) должен быть меньше \( m_2 \). Если \( m_1 = 600 \text{ г} \) поднимают, то \( m_2 = 200 \text{ г} \) должен опускаться. Но при \( m_1 > m_2 \) система будет двигаться в сторону \( m_1 \) (опускание \( m_1 \)).

Исходя из написанного, предположим, что:

Груз 1: \( m_A = 0.6 \text{ кг} \) (опускается)

Груз 2: \( m_B = 0.2 \text{ кг} \) (поднимается)

Тогда \( a = 5 \text{ м/с}² \) (направление вверх для \( m_B \), вниз для \( m_A \)).

Груз \( m_A \) опустился на \( h = 0.18 \text{ м} \). Значит, груз \( m_B \) поднялся на \( h = 0.18 \text{ м} \). Скорость в этот момент: \( v^2 = 2ah = 2 \cdot 5 \cdot 0.18 = 1.8 \text{ (м/с)}² \).

Когда \( m_A \) ударился о пол, \( m_B \) продолжает движение вверх по инерции. Его начальная скорость \( v = \sqrt{1.8} \text{ м/с} \). Максимальная высота подъема \( h_{max} \) определяется из закона сохранения энергии:

\[ \frac{m_B v^2}{2} = m_B g h_{max} \]

\[ h_{max} = \frac{v^2}{2g} = \frac{1.8}{2 \cdot 10} = \frac{1.8}{20} = 0.09 \text{ м} = 9 \text{ см} \]

Ответ: 9 см.