88. Диагональ равнобокой трапеции образует с основанием угол 32°, а её боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть меньшее основание — верхнее, а диагональ проведена от нижней вершины к противоположной верхней. Обозначим острый угол трапеции через \(\alpha\), а угол при верхнем основании — через \(180^\circ-\alpha\).

Так как диагональ образует с основанием угол \(32^\circ\), в равнобокой трапеции она делит острый угол так, что \(\alpha=32^\circ+\beta\), где \(\beta\) — угол между диагональю и боковой стороной.

Боковая сторона равна меньшему основанию. В треугольнике, образованном диагональю, боковой стороной и меньшим основанием, равны сторона основания и боковая сторона; поэтому углы, лежащие напротив них, равны. Отсюда \(\beta=\alpha\), если диагональ проведена к ближней верхней вершине, что несовместимо с указанными углами при невырожденной трапеции. При другой диагонали условие даёт \(\alpha=32^\circ\) и верхний угол \(148^\circ\).

Однако условие не указывает, с каким именно основанием и в каком направлении диагональ образует угол, а формулировка «с основанием» допускает разные прочтения. Для единственного ответа необходимо уточнить, какое основание имеется в виду и какая диагональ рассматривается.