91. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, а острый угол, лежащий против этой диагонали, равен 52°. Найдите остальные углы трапеции, если ее меньшее основание равно другой боковой стороне.

Приму обозначения согласно стандартному расположению вершин трапеции ABCD: основания AD и BC параллельны, меньшая сторона — BC, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а острый угол напротив AC — ∠D = 52°.

Пусть длина меньшего основания BC равна длине другой боковой стороны AB и равна b. Обозначим ∠A = α, высоту трапеции — h. Тогда по прямоугольному треугольнику с гипотенузой AB: AB = b, h = b sin α, а горизонтальная проекция AB равна b cos α.

Поскольку AC ⟂ CD, а CD образует с основанием угол 52°, горизонтальная проекция AC равна h · tan 52°. С другой стороны, эта проекция равна AB cos α + BC = b cos α + b. Поэтому

sin α · tan 52° = 1 + cos α.

Используя тождества sin α = 2 sin(α / 2) cos(α / 2) и 1 + cos α = 2 cos²(α / 2), получаем tan(α / 2) = cot 52° = tan 38°. Значит, α = 76°.

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°: ∠B = 180° − ∠A = 104°, а ∠C = 180° − ∠D = 128°.

Ответ: ∠A = 76°, ∠B = 104°, ∠C = 128°.