882. Упростите выражение: б) 2√70-2√28 / 3√35-3√14

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разложим числа под корнями на множители, чтобы найти общие множители:
  \( \sqrt{70} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7} \)
  \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \)
  \( \sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7} \)
  \( \sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} \)
• Шаг 2: Подставим разложенные корни в дробь:
  \( \frac{2\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7} - 2(2\sqrt{7})}{3\sqrt{5 \cdot 7} - 3\sqrt{2 \cdot 7}} \)
• Шаг 3: Вынесем общие множители из числителя и знаменателя:
  Числитель: \( 2\sqrt{70} - 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7}(\sqrt{10} - 2) \)
  Знаменатель: \( 3\sqrt{35} - 3\sqrt{14} = 3\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \)
• Шаг 4: Перепишем дробь с вынесенными множителями:
  \( \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{10} - 2)}{3\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \)
• Шаг 5: Сократим \( \sqrt{7} \) и упростим выражение.
  \( \frac{2(\sqrt{10} - 2)}{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \)
• Шаг 6: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, чтобы избавиться от иррациональности:
  \( \frac{2(\sqrt{10} - 2)}{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{2((\sqrt{10} - 2)(\sqrt{5} + \sqrt{2}))}{3((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)} \)
• Шаг 7: Раскроем скобки в числителе и упростим знаменатель:
  Числитель: \( 2(\sqrt{50} + \sqrt{20} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) = 2(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \)
  Знаменатель: \( 3(5 - 2) = 3(3) = 9 \)
• Шаг 8: Получим окончательный ответ:
  \( \frac{6\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

Ответ: 2√2/3