89. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть ∠AOC и ∠BOD — вертикальные углы, а лучи OM и ON — их биссектрисы. Вертикальные углы равны, поэтому их половины тоже равны: ∠AOM = ∠BON.

Луч OA противоположен лучу OB. Если повернуть OA к OM на половину угла AOC, то противоположный луч OB при таком же повороте перейдёт в ON. Следовательно, OM и ON — противоположные лучи, то есть лежат на одной прямой.