9. (1 балл) Найдите производную функции в точке х=0: y=x⁴-6x²+7x-1

Решение:

Сначала найдем производную данной функции \( y = x^4 - 6x^2 + 7x - 1 \).

Используем правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \).
• Производная константы равна 0.

Найдем производную каждого члена:

• Производная \( x^4 \) равна \( 4x^{4-1} = 4x^3 \).
• Производная \( -6x^2 \) равна \( -6 · 2x^{2-1} = -12x \).
• Производная \( 7x \) равна \( 7 · 1x^{1-1} = 7x^0 = 7 \).
• Производная \( -1 \) равна 0.

Таким образом, производная функции \( y' \) равна:

\[ y' = 4x^3 - 12x + 7 \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x=0 \). Подставим \( x=0 \) в выражение для \( y' \):

\[ y'(0) = 4(0)^3 - 12(0) + 7 = 0 - 0 + 7 = 7 \]

Ответ: 7