9. (2 балла). Решите уравнение: (x+21)/(x^2-9) - x/(x+3) = 0

Решение:

Решим уравнение \( \frac{x+21}{x^2-9} - \frac{x}{x+3} = 0 \). Сначала разложим знаменатель \( x^2-9 \) как разность квадратов: \( x^2-9 = (x-3)(x+3) \).

Уравнение примет вид:

\[ \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} - \frac{x}{x+3} = 0 \]

Общий знаменатель — \( (x-3)(x+3) \). Умножим вторую дробь на \( (x-3) \):

\[ \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Приведём числители к общему знаменателю:

\[ \frac{(x+21) - x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \]

Числитель должен быть равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).

\[ x+21 - (x^2 - 3x) = 0 \]
\[ x+21 - x^2 + 3x = 0 \]
\[ -x^2 + 4x + 21 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \).

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4+10}{2} = 7 \]
\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4-10}{2} = -3 \]

Проверим ограничения: \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \). Корень \( x = -3 \) не подходит.

Ответ: \( x = 7 \)