9.9 В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону: m(t) = m₀ * 2^(-t/T), где m₀ – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 448 мг. Период его полураспада составляет 8 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 28 мг.

Решение:

Дано:

• \( m_0 = 448 \) мг
• \( T = 8 \) мин
• \( m(t) = 28 \) мг

Формула:

\( m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T} \)

Подставим известные значения:

\( 28 = 448 \cdot 2^{-t/8} \)

Разделим обе части на 448:

\( \frac{28}{448} = 2^{-t/8} \)

Сократим дробь:

\( \frac{28}{448} = \frac{1}{16} \)

Таким образом, уравнение выглядит так:

\( \frac{1}{16} = 2^{-t/8} \)

Представим \( \frac{1}{16} \) как степень двойки:

\( \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} \)

Теперь мы можем приравнять показатели степеней:

\( 2^{-4} = 2^{-t/8} \)

\( -4 = -\frac{t}{8} \)

Умножим обе части на -1:

\( 4 = \frac{t}{8} \)

Решим относительно \( t \):

\( t = 4 \cdot 8 \)

\( t = 32 \) мин

Ответ: Через 32 минуты масса изотопа будет равна 28 мг.