9) ΔAPC – прямоугольный, sin P = 0,8. Найдите длину катета AC.

Пошаговое решение:

1. Находим гипотенузу PC:
   Дано sin P = 0,8. Синус угла P в прямоугольном треугольнике APC равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе PC: \( \sin P = \frac{AC}{PC} \).
   Из условия задачи нам неизвестны AC и PC. Однако, по рисунку видно, что AC = x, а PC = x. Это ошибка в условии задачи, так как катет не может быть равен гипотенузе. Предполагается, что AC = x, а гипотенуза PC = ?, а катет AC = 0.8 * PC. Или же, что AC = ?, а гипотенуза PC = x. Давайте предположим, что AC = 20, как указано на рисунке, а PC - гипотенуза. Тогда sin P = AC/PC. Если sin P = 0.8, то AC = 0.8 * PC. Если AC = 20, то PC = 20 / 0.8 = 25.
2. Находим катет AC, используя теорему Пифагора, если AC - искомое:
   Пусть AC = x.
   Из рисунка, катет AC = 20. Гипотенуза PC - неизвестна. Катет AP - неизвестен.
   sin P = AP/PC = 0.8.
   По теореме Пифагора: AP^2 + AC^2 = PC^2.
   AP^2 + 20^2 = PC^2.
   AP^2 + 400 = PC^2.
   Из sin P = AP/PC = 0.8, следует AP = 0.8 * PC.
   (0.8 * PC)^2 + 400 = PC^2.
   0.64 * PC^2 + 400 = PC^2.
   400 = PC^2 - 0.64 * PC^2.
   400 = 0.36 * PC^2.
   PC^2 = 400 / 0.36 = 40000 / 36 = 10000 / 9.
   PC = \( \sqrt{\frac{10000}{9}} \) = 100/3.
   Теперь находим AC. На рисунке AC = 20, а дано sin P = 0.8. Если AC=20, то sin P = AP/PC.
3. Если AC = x (искомое) и AC = 20 (по рисунку), то sin P = AP/PC.
   Условие sin P = 0.8 и рисунок с AC = 20 противоречат друг другу, если P - угол при вершине P. Если P - угол при вершине P, то противолежащий катет - AC. Тогда sin P = AC/PC.
4. Переосмыслим задачу, учитывая, что на рисунке AC = 20, а sin P = 0.8.
   Предположим, что P - угол при вершине P. Тогда противолежащий катет - AC. AC = 20. sin P = AC / PC.
   0.8 = 20 / PC.
   PC = 20 / 0.8 = 25.
5. Найдем катет AP по теореме Пифагора:
   AP^2 + AC^2 = PC^2
   AP^2 + 20^2 = 25^2
   AP^2 + 400 = 625
   AP^2 = 625 - 400 = 225
   AP = \( \sqrt{225} \) = 15.
6. Если x - это AC, то x = 20.
   Если x - это гипотенуза PC, то x = 25.
7. Если x - это катет AP, то x = 15.
   В задании указано "sin P = 0,8". На рисунке катет AC имеет длину 20. Катет AP обозначен как x. Гипотенуза PC обозначена как x. Это означает, что x - это гипотенуза PC.
8. Если гипотенуза PC = x, и sin P = 0.8:
   sin P = AP/PC.
   0.8 = AP/x.
   AP = 0.8x.
   По теореме Пифагора: AP^2 + AC^2 = PC^2.
   AC = 20 (по рисунку).
   (0.8x)^2 + 20^2 = x^2.
   0.64x^2 + 400 = x^2.
   400 = x^2 - 0.64x^2.
   400 = 0.36x^2.
   x^2 = 400 / 0.36 = 40000 / 36 = 10000 / 9.
   x = \( \sqrt{\frac{10000}{9}} \) = 100/3.
9. В итоге, если x - это гипотенуза PC, то x = 100/3.

Ответ: 100/3