9. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баражи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Дано:

Расстояние по течению: \( S_1 = 32 \) км.

Расстояние против течения: \( S_2 = 24 \) км.

Общее время в пути: \( T = 4 \) часа.

Скорость течения реки: \( v_t = 5 \) км/ч.

Найти:

Собственную скорость баржи: \( v_b \) км/ч.

Решение:

Пусть \( v_b \) — собственная скорость баржи (скорость баржи в стоячей воде).

Скорость баржи по течению: \( v_1 = v_b + v_t = v_b + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v_2 = v_b - v_t = v_b - 5 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{32}{v_b + 5} \) часа.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{24}{v_b - 5} \) часа.

Общее время в пути равно сумме времени по течению и против течения: \( t_1 + t_2 = T \).

\( \frac{32}{v_b + 5} + \frac{24}{v_b - 5} = 4 \).

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

\( \frac{8}{v_b + 5} + \frac{6}{v_b - 5} = 1 \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( (v_b + 5)(v_b - 5) \):

\( \frac{8(v_b - 5) + 6(v_b + 5)}{(v_b + 5)(v_b - 5)} = 1 \).

Раскроем скобки в числителе:

\( \frac{8v_b - 40 + 6v_b + 30}{v_b^2 - 25} = 1 \).

Упростим числитель:

\( \frac{14v_b - 10}{v_b^2 - 25} = 1 \).

Умножим обе части уравнения на \( v_b^2 - 25 \) (при условии, что \( v_b^2 - 25 \neq 0 \), то есть \( v_b \neq \pm 5 \)).

\( 14v_b - 10 = v_b^2 - 25 \).

Перенесём все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( v_b^2 - 14v_b - 25 + 10 = 0 \).

\( v_b^2 - 14v_b - 15 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение относительно \( v_b \) с помощью дискриминанта.

1. Определим коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -14 \), \( c = -15 \).
2. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \].
3. \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).
4. Найдём корни: \[ v_{b1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 1} \].
5. \( v_{b1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
6. \( v_{b2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_b = 15 \) км/ч.

Проверим условие \( v_b \neq 5 \). \( 15 \neq 5 \), значит, решение корректно.

Ответ: 15 км/ч