9. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность (рис). Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=20, DK=15, ВС=12. Найдите AD.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд (или секущих, если точки К, А, В и К, D, С лежат на одной прямой, что следует из условия пересечения прямых АВ и CD). Однако, поскольку четырехугольник вписан в окружность, мы имеем дело с секущими, выходящими из точки К. Для секущих, проведенных из одной точки к окружности, произведение отрезков от точки до точек пересечения с окружностью равно.

\( KA · KB = KD · KC \)

И также, для подобных треугольников \( \triangle KAD \) и \( \triangle KCB \) (по двум углам: \( \angle K \) общий, \( \angle KAD = \angle KCB \) как углы, опирающиеся на одну дугу BD), справедливо отношение сторон:

\( \frac{KA}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \).

Из условия известно:

\( KB = 20 \)

\( DK = 15 \)

\( BC = 12 \)

Нам нужно найти \( AD \).

Из отношения сторон подобных треугольников:

\( \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} \)

\( \frac{15}{20} = \frac{AD}{12} \)

\( AD = 12 · \frac{15}{20} = 12 · \frac{3}{4} = 3 · 3 = 9 \).

Ответ: 9