9) Дан параллелограмм $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; на рисунке указаны $AD=8$, $AO=4$, $OD=5$. Найдите: 1. $DC$; 2. $\cos\angle ADB$; 3. $\cos\angle AOD$; 4. $\sin\angle AOD$; 5. $S_{ABCD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9) Дан параллелограмм $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; на рисунке указаны $AD=8$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому $AC=2AO=8$, $BD=2OD=10$.

По закону параллелограмма $AC^2+BD^2=2(AD^2+DC^2)$. Тогда $64+100=2(64+DC^2)$, откуда $DC^2=18$, значит $DC=3\sqrt2$.
В треугольнике $ADB$, где $AB=DC=3\sqrt2$, по теореме косинусов $\cos\angle ADB=\frac{AD^2+DB^2-AB^2}{2\cdot AD\cdot DB}=\frac{64+100-18}{160}=\frac{73}{80}$.
В треугольнике $AOD$: $\cos\angle AOD=\frac{AO^2+OD^2-AD^2}{2\cdot AO\cdot OD}=\frac{16+25-64}{40}=-\frac{23}{40}$.
Угол $AOD$ тупой, поэтому синус положителен: $\sin\angle AOD=\sqrt{1-\left(-\frac{23}{40}\right)^2}=\frac{3\sqrt{119}}{40}$.
Площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними: $S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle AOD=\frac12\cdot8\cdot10\cdot\frac{3\sqrt{119}}{40}=3\sqrt{119}$.

Ответ: 1) $3\sqrt2$; 2) $\frac{73}{80}$; 3) $-\frac{23}{40}$; 4) $\frac{3\sqrt{119}}{40}$; 5) $3\sqrt{119}$.