9. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС=3, AD=7, AC=20. Найдите АО.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( ΒΟС \) и \( ΔΟА \).

Так как \( BC \) и \( AD \) — основания трапеции, то \( BC     || AD \).

Углы \( ΒСО \) и \( ΔАО \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

Углы \( СВО \) и \( ДАО \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \).

Углы \( ВОС \) и \( ДАО \) равны как вертикальные.

Следовательно, треугольники \( ΒОС \) и \( ДАО \) подобны по двум углам.

Отношение сходственных сторон равно:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO} = \frac{BO}{DO} \).

Нам дано \( BC = 3 \), \( AD = 7 \), \( AC = 20 \).

Пусть \( AO = x \). Тогда \( OC = AC - AO = 20 - x \).

\( \frac{3}{7} = \frac{20 - x}{x} \).

\( 3x = 7(20 - x) \).

\( 3x = 140 - 7x \).

\( 3x + 7x = 140 \).

\( 10x = 140 \).

\( x = \frac{140}{10} = 14 \).

Значит, \( AO = 14 \).

Ответ: 14.