9. И куба 4 х 4 х 4, составленного из кубиков 1 х 1 х 1, убрали несколько кубиков. Осталась одна фигура из 22 кубиков. Из какого наибольшего числа квадратиков может состоять поверхность такой фигуры?

Решение:

Исходный куб 4x4x4 состоит из \(4^3 = 64\) кубиков.

Убрали \(64 - 22 = 42\) кубика.

Чтобы поверхность получившейся фигуры была наибольшей, нужно убирать кубики так, чтобы обнажалось как можно больше внутренних граней. Самый простой способ получить максимальную поверхность — это убирать кубики изнутри, оставляя их на периферии.

Изначально куб 4x4x4 имеет поверхность \(6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96\) квадратиков.

Когда мы убираем кубик, мы можем увеличить площадь поверхности. Если убрать кубик из центра (внутренний кубик), то его 6 граней станут частью поверхности. Однако, если убрать кубик, у которого уже есть окрашенные грани, то площадь поверхности может измениться иначе.

Чтобы получить наибольшую площадь поверхности при заданном количестве кубиков (22), нужно расположить их максимально протяженно, минимизируя объём.

Рассмотрим случай, когда мы оставляем кубики, формирующие 'стенки' толщиной в 1 кубик. Например, оставим 2 слоя по 11 кубиков в одном ряду: \(1 \times 1 \times 22\).

Площадь поверхности такого параллелепипеда: \(2 \times (1 \times 1 + 1 \times 22 + 1 \times 22) = 2 \times (1 + 22 + 22) = 2 \times 45 = 90\).

Рассмотрим вариант, когда кубики вытянуты в линию \(1 \times 1 \times 22\). Площадь поверхности будет \(2 \times (1 \times 1) + 4 \times (1 \times 22) = 2 + 88 = 90\).

Если рассмотреть структуру, где мы оставляем внешние кубики, то из 64 кубиков убираем 42. Наибольшую площадь поверхности можно получить, если фигура будет максимально "рыхлой", т.е. кубики будут расположены так, чтобы иметь как можно больше 'контактов' с воздухом.

Если оставить 22 кубика, это может быть, например, 2 слоя по 11 кубиков, вытянутых в линию. Длина фигуры будет 22 кубика, ширина и высота — 1 кубик.

Параллелепипед \(1 \times 1 \times 22\) имеет площадь поверхности \(2(1 \times 1) + 4(1 \times 22) = 2 + 88 = 90\).

Рассмотрим вариант, когда кубики расположены вокруг пустого пространства. Например, центральный куб 2x2x2 (8 кубиков) убран. Остается \(64-8 = 56\) кубиков.

Чтобы максимизировать поверхность, нам нужно как можно больше "выставлять" кубиков наружу. Наилучшая конфигурация — это фигура, где кубики располагаются как можно более разреженно, но при этом образуют связную фигуру.

Рассмотрим оставшиеся 22 кубика. Если представить их в виде вытянутой структуры \(1 \times 1 \times 22\), то площадь поверхности будет \(2 + 4 \times 22 = 90\).

Если представить кубики как