9 класс. 2. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AD. N — точка на стороне AD такая, что AN:ND = 1:2. Выразите векторы CN и MN через векторы b = BC и a = BA.

Пусть начало отсчёта находится в A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=-\vec a\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec a+\vec b\).

Так как M — середина AD, \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec b\). Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{AN}=\frac13\vec b\).

Тогда \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=(\vec a-\vec b)+\frac13\vec b=\vec a-\frac23\vec b\).

Также \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac12\vec b+\frac13\vec b=-\frac16\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac16\vec b\).